Информације

Reprodukcioni broj modela SIR sa mortalitetom

Reprodukcioni broj modela SIR sa mortalitetom


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Znamo da je broj reprodukcije $mathcal{R}_0$ $frac{alpha}{eta}$ za sledeći sistem, tako da ako $mathcal{R}_0>1$, postoji epidemija u становништво.

Sada, pretpostavite sistem ispod sa stopom smrtnosti od $delta$:

Pitam se koja od dole navedenih opcija predstavlja ${R}_0$?

  1. ${R}_0 = frac{alpha}{eta + delta}$
  2. ${R}_0 = frac{alpha}{eta delta}$
  3. ${R}_0 = frac{alpha}{eta}+frac{alpha}{delta}$

Da li biste mogli da označite pravu opciju sa njenim opravdanjem?

Хвала


Jedini odgovor koji ima numerički smisao je 1. Proizvod dve stope beta i delta (oporavak * smrt) ne znači ništa u SIR. A u odgovoru tri udvostručujete stopu infekcije (alfa). Gledajući sa druge strane, za R_0 nije važno kako ljudi napuštaju klasu Zaraženi, kada ste ili mrtvi ili ozdravljeni, više ne prenosite bolest. Stoga možete reći da je neka vrednost Zeta izlaz iz klase Zaraženih, a Zeta bi bila zbir svih stopa koje uklanjaju osobu iz zarazne.


Doduše, nisam radio sa SIR-modelima, ali za mene je odgovor definitivno br. 1.

U osnovi, $R_0$ se definiše kao broj sekundarnih infekcija od jedne osobe u neinficiranoj populaciji. Ponekad se opisuje kao:

$ R_0 = gama *c * d $,

gde je $gamma$ verovatnoća prenošenja bolesti, $c$ je prosečna stopa kontakta (stopa susreta sa drugim pojedincima), a $d$ prosečna dužina infektivnosti (koja je $1/eta$, tamo $ beta$ je stopa oporavka). U vašem izrazu iznad $alpha = gamma*c$.

U ovom jednostavnom modelu od $R_0$ dodavanje stope mortaliteta u osnovi je jednako dodavanju drugog načina uklanjanja od zaraze (možete se ili oporaviti ili umreti). Stoga je očekivano vreme zaraznog (ranije $1/eta$) sada zbir dve stope, $1/(eta + delta)$, gde je $delta$ stopa smrtnosti (množenjem dve stope bi bilo slično proceni verovatnoće da se neko i oporavi i umre od infekcije). To znači da je $R_0$ sa stopom smrtnosti:

$$ R_0 = frac {gamma c}{eta+delta} = frac {alpha}{eta+delta}$$

Međutim, postoje i komplikovaniji (i realniji) načini modeliranja situacija sa stopom smrtnosti.

(Počeo sam svoj odgovor pre lepog odgovora @Artems, zbog čega ovo postavljam kao dopunski odgovor.)


Procena broja reprodukcije COVID-19 koji se menja u vremenu metodom prostora stanja

Nakon usporavanja širenja novog korona virusa COVID-19, mnoge zemlje su počele da ublažavaju svoje mere zatvaranja suočene sa kritičnom štetom po socioekonomske strukture. U ovoj fazi, poželjno je pratiti stepen do kojeg su političke mere ili društveni poslovi uticali na širenje bolesti. Iako je teško pratiti individualni prenos infekcija čiji su periodi inkubacije dugi i veoma varijabilni, procena prosečne stope širenja je moguća ako se može osmisliti odgovarajući matematički model za analizu dnevnih događaja. Da bismo dali tačnu procenu, osmislili smo metodu prostora stanja za prilagođavanje varijante Hoksovog procesa sa diskretnim vremenom u datom skupu podataka o dnevno potvrđenim slučajevima. Predloženi metod otkriva promene koje se dešavaju u svakoj zemlji i procenjuje uticaj društvenih događaja u smislu vremenski promenljivog reprodukcionog broja, koji odgovara prosečnom broju slučajeva direktno izazvanih jednim zaraženim slučajem. Štaviše, predloženi metod se može koristiti za predviđanje mogućih posledica alternativnih političkih mera. Ove informacije mogu poslužiti kao referenca za smernice ponašanja koje treba usvojiti u skladu sa promenljivim rizikom od infekcije.


SIR model za širenje bolesti – model diferencijalne jednačine

Kao prvi korak u procesu modeliranja, identifikujemo nezavisne i zavisne varijable. Nezavisna promenljiva je vreme  t,  mereno u danima. Razmatramo dva povezana skupa zavisnih varijabli.

Prvi skup zavisnih varijabli se računa људи u svakoj od grupa, svaka kao funkcija vremena:

S = S(t) je broj осетљив појединци,
I = I(t) je broj заражен pojedinci, i
R = R(t) je broj oporavila појединци.

Drugi skup zavisnih varijabli predstavlja разломак ukupnog stanovništva u svakoj od tri kategorije. Dakle, ako  Н  je ukupna populacija (7.900.000 u našem primeru), koju imamo

s(t) = S(t)/N, osetljivi deo stanovništva,
i(t) = I(t)/N, zaraženi deo stanovništva, i
r(t) = R(t)/N, oporavljeni deo stanovništva.

Možda će izgledati prirodnije raditi sa brojem stanovnika, ali neki od naših proračuna će biti jednostavniji ako umesto njih koristimo razlomke. Dva skupa zavisnih varijabli su proporcionalna jedna drugoj, tako da će nam svaki skup dati iste informacije o napretku epidemije.

    Pod pretpostavkama koje smo napravili, kako mislite  s(t)  bi trebalo da varira sa vremenom? Kako bi  r(t)  varirati sa vremenom? Kako bi  то)  varirati sa vremenom?

Zatim pravimo neke pretpostavke o stopama promene naših zavisnih varijabli:

Нико није dodao je osetljivoj grupi, pošto ignorišemo rođenje i useljavanje. Jedini način pojedinca оставља osetljiva grupa se inficira. Pretpostavljamo da je vremenska stopa promene od  S(t),  the број osetljivih, 1 zavisi od broja koji su već osetljivi, broja osoba koje su već zaražene i količine kontakta između osetljivih i inficiranih. Konkretno, pretpostavimo da svaka zaražena osoba ima fiksni broj  b  kontakata dnevno koji su dovoljni za širenje bolesti. Nisu svi ovi kontakti sa osetljivim osobama. Ako pretpostavimo homogeno mešanje stanovništva, tj разломак od ovih kontakata koji su sa podložnima je  s(t).  Tako, u proseku, svaki zaraženi pojedinac generiše  b s(t)  novih zaraženih osoba dnevno. [Sa velikom podložnom populacijom i relativno malom zaraženom populacijom, možemo zanemariti nezgodne situacije prebrojavanja, kao što je jedna osetljiva osoba koja se susreće sa više od jednog zaraženog u datom danu.]

Hajde da vidimo šta nam ove pretpostavke govore o derivatima naših zavisnih varijabli.

    Jednačina osetljivosti . Pažljivo objasnite kako svaka komponenta diferencijalne jednačine

(1)

sledi iz teksta koji prethodi ovom koraku. Нарочито,

    Zašto je faktor  То)  prisutan?

(3)

sledi iz jedne od pretpostavki koje prethode koraku 4.

(4)

Koju pretpostavku o modelu ovo odražava? Sada pažljivo objasnite kako svaka komponenta jednačine

(5)

proizilazi iz onoga što ste do sada uradili. Нарочито,

Konačno, kompletiramo naš model dajući svakoj diferencijalnoj jednačini početni uslov. Za ovaj konkretan virus – hongkonški grip u Njujorku kasnih 1960-ih – retko ko je bio imun na početku epidemije, tako da su skoro svi bili podložni. Pretpostavićemo da je postojao nivo zaraze u populaciji, recimo, 10 ljudi. 2  Dakle, naše početne vrednosti za populacijske varijable su

S(0) =ه,900,000
I(0) =㺊
R(0) =ـ

U smislu skaliranih varijabli, ovi početni uslovi su

s(0) =ف
i(0) =ف.27 x㺊 - 6
r(0) =ـ

(Napomena: zbir naših početnih populacija nije baš  Н,  niti je zbir naših razlomaka tačno  1.  Nivo u tragovima infekcije je toliko mali da to neće napraviti nikakvu razliku.) Naš kompletan model je

Ne znamo vrednosti za parametre  b  i    još, ali možemo da ih procenimo, a zatim da ih prilagodimo po potrebi kako bi se uklopili u višak podataka o smrti. Već smo procenili prosečni period zaraznosti na tri dana, tako da bi to sugerisalo  k =ف/3.  Ako pretpostavimo da bi svaki zaraženi uspostavio eventualno zarazni kontakt svaka dva dana, onda  b  bi bilo  1/2.  Naglašavamo da je ovo samo nagađanje. Sledeći grafikon prikazuje krive rešenja za ove izbore  b  i  к

    U koracima 1 i 2 zapisali ste svoje ideje o tome kako bi funkcije rešenja trebalo da izgledaju. Kako se te ideje upoređuju sa gornjom slikom? Нарочито,

    Šta mislite o relativno niskom nivou zaraze na vrhuncu epidemije?

U trećem delu ćemo videti kako se krive rešenja mogu izračunati čak i bez formula za funkcije rešenja.

1  Imajte na umu da smo pridev „osetljiv“ pretvorili u imenicu. Uobičajena je upotreba u epidemiologiji da se označavaju „podložni“, „inficirani“ i „oporavljeni“, umesto da se uvek koriste duže fraze kao što su „populacija osetljivih ljudi“ ili čak „podložna grupa“.

2  Dok ja(0)  je obično malo u odnosu na Н, moramo imati I(0) >ـ da bi se razvila epidemija. Jednačina (5) kaže, sasvim razumno, da ako I =ـ на време 0 (ili bilo kada), onda dI/dt =ـ takođe, i nikada ne može biti nikakvog povećanja od 0 nivo infekcije.

David Smith i Lang Moore, "SIR model za širenje bolesti - model diferencijalne jednačine", Конвергенција (decembar 2004)


Izvođenje formula

Sada želimo da dobijemo broj inficiranih, osetljivih i oporavljenih za sve dane, samo od β, γ i N. Sada je teško dobiti direktnu formulu za S(t), I(t) i R(t) . Međutim, vrlo je jednostavno opisati promena dnevno od S, I i R, odnosno kako se menja broj osetljivih/inficiranih/oporavljenih u zavisnosti od trenutnih brojeva. Opet ćemo izvući formule na primeru:

Sada smo na dan t nakon izbijanja bolesti X. Ipak, očekivani broj ljudi koje zaražena osoba zarazi dnevno je 1 (dakle β=1), a broj dana koje zaražena osoba ima i može da širi bolest je 7 (dakle γ=1/7 i D=7).

Recimo da je na dan t 60 ljudi zaraženo (dakle I(t)=60), ukupna populacija je 100 (dakle N=100), a 30 ljudi je još uvek osetljivo (dakle S(t)=30 i R( t)=100–60–30=10). Sada, kako se S(t) i I(t) i R(t) menjaju za sledeći dan?

Imamo 60 zaraženih. Svaki od njih zarazi 1 osobu dnevno (to je β). Međutim, samo 30/100 = 30% ljudi koje sretnu su i dalje podložni i mogu biti zaraženi (to je S(t) / N). Dakle, oni zaraze 60 ⋅ 1 ⋅ 30/100 = 18 ljudi (opet, razmislite o tome dok zaista ne bude smisla: 60 inficiranih koji inficiraju u proseku 1 osobu dnevno, ali samo 30 od 100 ljudi i dalje može biti zaraženo, tako da ne inficiraju 60⋅1 osobu, već samo 60⋅1⋅30/100 = 18 osoba). Dakle, 18 ljudi podložnih se inficira, tako da se S(t) menja za minus 18. Ubacivanjem promenljivih, upravo smo izveli prvu formulu:

Promena S(t) na sledeći dan = - β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N.

Ako ste upoznati sa računom, znate da imamo termin za opisivanje promena funkcije: izvod S’(t) ili dS/dt. (Nakon što smo izveli i razumeli sve izvode S'(t), I'(t) i R'(t), možemo izračunati vrednosti S(t), I(t) i R(t) za svaki dan.)

Sada, kako se menja količina zaraženih? To je lako: neki novi ljudi su zaraženi, upravo smo to videli. Tačan broj ljudi koji „napusti“ S(t) „stigne“ u I(t). Dakle, imamo 18 novih zaraženih i već znamo da će formula biti slična ovoj: I'(t) = + β ⋅ I(t) ⋅ S(t) / N (naravno, možemo izostaviti plus, samo da vam pokažemo da dobijamo tačan iznos koji S(t) gubi, pa samo menjamo predznak). Samo jedna stvar nedostaje: neki ljudi se oporavljaju. Zapamtite, imamo γ za to, to je procenat zaraženih koji se oporavljaju dnevno, to je upravo ono što nam treba!

Imamo 60 zaraženih i γ=1/3, tako da se trećina od 60 oporavi. To je 1/3 ⋅ 60 = 20. Na kraju, dobijamo formulu:

Opet, razmislite o ovome na minut. Prvi deo su novozaraženi od osetljivih. Drugi deo je oporavak.

Konačno, dolazimo do poslednje formule, promene oporavka. To je lako: novootkrivenih je tačno 20 za koje smo upravo izračunali da nema ljudi koji napuštaju „oporavljeni“ odeljak. Kada se oporave, ostaju imuni:

Odlično, sada smo izveli (i razumeli) sve formule koje su nam potrebne! Evo ih ponovo sa uobičajenijom notacijom za derivat i izostavljenim „(t)“ kao što se često radi:

Takve jednačine se nazivaju obične diferencijalne jednačine (ODE) (neće vam trebati nikakvo znanje o njima da biste pratili ovu seriju).

Sada možemo opisati промена u broju osetljivih, zaraženih i oporavljenih. Iz ovih formula, na sreću, možemo izračunati brojeve koji nas zaista zanimaju: S(t), I(t) i R(t), broj ljudi koji su podložni, zaraženi i oporavljeni za svaki dan t. Na sreću, ne moramo sami da se trudimo, python pruža mnogo alata za rešavanje ODE-a!


Reprodukcioni broj SIR modela sa mortalitetom - Biologija

Interepidemijski period se izračunava iz najvećeg imaginarnog dela sopstvenih vrednosti Jakobijanske matrice procenjenih u endemskoj ravnoteži.

Putanja infekcije pokazuju numeričko rešenje SEIRS jednačina sa 1.000 vremenskih koraka i početnim parametrima

$S(0) = 0,999 - p$ $E(0) = 0,001$ $I(0) = 0$ $R(0) = p$ $S + E + I + R = N = 1$

где п je frakcija vakcinacije.

Tačke značaja: SEIRS model za dinamiku zaraznih bolesti

Otar Bjornstad 1,2 , Katriona Ši 1 , Martin Krzivinski 3 , Naomi Altman 4

1. Odsek za biologiju, Državni univerzitet Pensilvanije, State College, PA, SAD.

2. Odsek za entomologiju, Državni univerzitet Pensilvanije, State College, PA, SAD.

3. Kanadski centar za nauku o genomu Majkla Smita, Vankuver, Britanska Kolumbija, Kanada.

4. Department of Statistics, The Pennsylvania State University, State College, PA, SAD.

Preuzmite kod

Citiranje

Istorija verzija

23. maj 2020. v1.0.0 &mdash početno javno izdanje

22. juna 2020. v1.0.1 &mdash je dodao veze u prvu kolonu

17. avgusta 2020. v1.0.2 &mdash je dodao veze ka svim kolonama

Povezane kolone

Shea, K., Bjørnstad, O., Krzywinski, M. & Altman, N. Tačke značaja: Neizvesnost i upravljanje epidemijama. (2020) Методе природе 17 (у штампи). (interaktivne figure, kod za preuzimanje)


Izvođenje mrtvog odeljka

Za veoma smrtonosne bolesti, ovaj odeljak je veoma važan. Za neke druge situacije, možda biste želeli da dodate potpuno drugačije odeljke i dinamiku (kao što su rađanja i smrti koje nisu povezane sa bolešću kada proučavate bolest tokom dužeg vremena) ovi modeli mogu postati složeni koliko god želite!

Hajde da razmislimo o tome kako možemo da uzmemo naše trenutne prelaze i dodamo a Д.ead држава. Kada ljudi mogu umrijeti od bolesti? Samo dok su zaraženi! To znači da ćemo morati da dodamo prelaz I → D. Naravno, ljudi ne umiru odmah. Definišemo novu promenljivu ρ (rho) za stopu kojom ljudi umiru (npr. kada je potrebno 6 dana da umre, ρ će biti 1/6). Nema razloga da se stopa oporavka, γ, menja. Dakle, naš novi model će izgledati nekako ovako:

Jedina stvar koja nedostaje su verovatnoće prelaska od zaraženih do oporavljenih i od zaraženih do mrtvih. To će biti još jedna varijabla (posljednja za sada!), smrtnost α. Na primer, ako je α=5%, ρ = 1 i γ = 1 (dakle ljudi umiru ili se oporavljaju za 1 dan, to je lakši primer) i 100 ljudi je zaraženo, onda će 5% ⋅ 100 = 5 ljudi umreti. To ostavlja 95% ⋅ 100 = 95 ljudi koji se oporavljaju. Dakle, sve u svemu, verovatnoća za I → D je α i stoga je verovatnoća za I → R 1-α. Konačno dolazimo do ovog modela:

Što se prirodno prevodi u ove jednačine:


Kako nam epidemiološki modeli COVID-19 pomažu da procenimo pravi broj infekcija

Naš svet u podacima predstavlja podatke i istraživanja za napredak u borbi protiv najvećih svetskih problema.
Naša glavna publikacija o pandemiji je ovde: Pandemija korona virusa (COVID-19).

Zahvalni smo istraživačima čiji rad pokrivamo u ovom postu što su dali korisne povratne informacije i sugestije. Хвала вам.

Mi ažuriramo procene modela najnovijim dostupnim podacima svake nedelje, obično u ponedeljak. Ažuriranje poslednje stranice: 22. juna 2021. 1

Ključno ograničenje u našem razumevanju pandemije COVID-19 je to što ne znamo истина broj infekcija. Umesto toga, znamo samo za infekcije koje su potvrđene testom – potvrđene slučajeve. Ali pošto se mnogi zaraženi nikada ne testiraju, 2 znamo da su potvrđeni slučajevi samo delić pravih infekcija. Ali koliko mali razlomak?

Da bi odgovorilo na ovo pitanje, nekoliko istraživačkih grupa razvilo je epidemiološke modele COVID-19. Ovi modeli koriste podatke koje imamo – potvrđenih slučajeva i smrti, stope testiranja i još mnogo toga plus niz pretpostavki i epidemiološkog znanja da bi procenili prave infekcije i druge važne pokazatelje.

Grafikon ovde prikazuje srednje procene pravog broja dnevnih novih infekcija u Sjedinjenim Državama od četiri najistaknutija modela. 3 Za poređenje, prikazan je i broj potvrđenih slučajeva.

Dve stvari su jasne iz ovog grafikona: Sva četiri modela se slažu da su prave infekcije daleko veći broj потврђени случајеви.Ali modeli se ne slažu oko toga koliko i kako su se infekcije vremenom promenile.

Kada je broj potvrđenih slučajeva u SAD dostigao vrhunac krajem jula 2020. godine, modeli IHME i LSHTM procenili su da je pravi broj infekcija oko dva puta veći od potvrđenih slučajeva, ICL model je procenio da je skoro tri puta veći, i model Youyang Gua procenio je da je više od шест пута kao visok. Još u martu procenjena razlika između potvrđenih slučajeva i stvarnih infekcija bila je čak višestruko veća.

U ovom postu ispitujemo ova četiri modela i po čemu se razlikuju tako što ćemo raspakovati njihove suštinske elemente: za šta se koriste, kako funkcionišu, podatke na kojima se zasnivaju i pretpostavke koje prave.

Takođe želimo da procene modela učinimo lako dostupnim u našim interaktivnim grafikonima, omogućavajući vam da brzo istražite različite modele pandemije za većinu zemalja u svetu. Da biste to uradili, jednostavno kliknite na 𠇌promeni zemlju” na svakom grafikonu.

Tri od četiri modela koje posmatramo su “SEIR” 4 modela, 5 koji simuliraju kako se pojedinci u populaciji kreću kroz četiri stanja infekcije COVID-19: biti Сprijemčiv, Еxposed, Иzarazna, i Рpovratio (ili pokojnik). Način na koji se pojedinci kreću kroz ova stanja određuju različiti “parametri” modela kojih ima mnogo. Dva ključna su broj efektivne reprodukcije (Rt) 6 – koliko drugih ljudi osoba sa COVID-19 inficira u datom trenutku – i stopa smrtnosti od infekcije (IFR) – procenat ljudi zaraženih sa bolešću koji od nje umiru.

Možete saznati više o tome kako SEIR modeli funkcionišu tako što ćete istražiti ove resurse:

Kliknite da otvorite interaktivnu verziju

Imperial College London (ICL)

Model SEIR strukturiran po starosti fokusiran na zemlje sa niskim i srednjim prihodima (detalji od 23. avgusta 2020.)

Ovaj grafikon prikazuje procene ICL modela o pravom broju dnevnih novih infekcija u Sjedinjenim Državama. Da biste videli procene za druge zemlje, kliknite na 𠇌Promeni zemlju.” Linije označene sa “upper” i “lower” pokazuju granice intervala nesigurnosti od 95%. Poređenja radi, prikazan je i broj potvrđenih slučajeva.

Веб сајт
Pokriveni regioni

164 zemlje i teritorije širom sveta

Vreme pokriveno

Prvi obuhvaćeni datum je procenjeni početak pandemije za svaku zemlju. Model pravi projekcije koje se protežu 90 dana nakon poslednjeg datuma ažuriranja. 7

Učestalost ažuriranja
Šta je model?

Model je stohastička varijanta SEIR-a sa višestrukim infektivnim stanjima koja odražavaju različite težine COVID-19, kao što su blagi ili asimptomatski u odnosu na teški.

Za šta se model koristi?

ICL opisuje svoj model kao alat koji pomaže zemljama da shvate u kojoj fazi je zemlja u svojoj epidemiji (npr. pre ili posle vrhunca) i kako bi se potražnja za zdravstvenom zaštitom mogla promeniti u budućnosti prema tri scenarija politike. Ovi scenariji su dizajnirani da obezbede kontračinjenicu o tome šta bi se moglo desiti ako se trenutne intervencije održe, povećaju ili ublaže i stoga nemaju za cilj predviđanje budućeg mortaliteta.

ICL koristi procene modela za pisanje izveštaja za pojedinačne zemlje sa niskim i srednjim prihodima (LMIC) koje su relativno rano u svojim epidemijama. Ovi izveštaji su fokusirani na narednih 28 dana. Procene modela za preuzimanje dodatno uključuju podatke za neke zemlje sa visokim dohotkom kasnije u njihovim epidemijama (npr. SAD i zemlje EU) i projekcije za 90 dana u budućnosti.

Na osnovu modela ICL objavljuje procene sledećih pokazatelja:

  • Prave infekcije (dosadašnje i predviđene)
  • Potvrđene smrti (projektovane)
  • Potražnja bolnica i intenzivne nege (do danas i predviđena)
  • Efektivni broj reprodukcije, Rt (do danas i projektovani)
Na kojim podacima se zasniva model?

Model je 𠇏it” podataka o potvrđenim smrtnim slučajevima 8 korišćenjem procenjenog IFR-a da bi “povratno izračunao” koliko bi infekcija bilo verovatno tokom prethodnih nedelja da bi proizvele taj broj smrtnih slučajeva. Koristi podatke o mobilnosti – od Google-a ili, ako nisu dostupni, izvedene iz podataka ACAPS vladinih mera – za modulaciju Rt-a, ključnog parametra o tome kako se prenos menja.

Pored toga, model koristi podatke specifične za uzrast i zemlju o demografiji, obrascima društvenog kontakta, dostupnosti bolnica i riziku od hospitalizacije i smrti, iako dostupnost ovih podataka varira od zemlje do zemlje.

Koje su ključne pretpostavke i potencijalna ograničenja?

Model koristi procenjeni IFR za svaku zemlju izračunat primenom IFR specifičnih za uzrast primećenih u Kini i Evropi (od oko 0,6𠄱%) na starosnu distribuciju te zemlje. U zemljama kao što su mnoge LMIC sa mlađom populacijom nego u Kini i Evropi, ovo rezultira procenama IFR od tipično 0,2𠄰,3% jer mlađe populacije imaju niže povezane stope mortaliteta. Ove niže stope mortaliteta, međutim, pretpostavljaju pristup dovoljnoj zdravstvenoj zaštiti, što možda nije uvek slučaj u LMIC-ima. Razlike između procenjenih i stvarnih IFR-a mogu uticati na tačnost procena modela.

Model pretpostavlja da je broj potvrđenih smrtnih slučajeva jednak pravom broju umrlih. Ali istraživanja o višku mortaliteta i poznatim ograničenjima kapaciteta testiranja i izveštavanja sugerišu da je potvrđenih smrtnih slučajeva često manje od stvarnih. Tamo gde je to slučaj, model verovatno potcenjuje pravi zdravstveni teret.

Model pretpostavlja da je promena u prenosu tokom vremena funkcija prosečnih trendova mobilnosti za mesta kao što su prodavnice i radna mesta, ali ne i parkovi i stambena područja. 9 Ako ove pretpostavke o mobilnosti i prenosu ne postoje, model možda neće tačno pratiti pandemiju.

Kao i svi modeli, i ovaj daje mnoge pretpostavke, a mi ovde pokrivamo samo nekoliko ključnih. Za kompletnu listu pogledajte opis metoda modela.

Kliknite da otvorite interaktivnu verziju

Institut za zdravstvenu metriku i evaluaciju (IHME)

Hibridni statistički/SEIR model (detalji od 23. avgusta 2020.)

Ovaj grafikon prikazuje procene IHME modela o pravom broju dnevnih novih infekcija u Sjedinjenim Državama. Da biste videli procene za druge zemlje, kliknite na “Promeni zemlju.” Linije označene sa “upper” i “lower” pokazuju granice intervala nesigurnosti od 95%. Poređenja radi, prikazan je i broj potvrđenih slučajeva.

Веб сајт
Pokriveni regioni

159 zemalja i teritorija širom sveta, uključujući podnacionalne podatke za SAD i nekoliko drugih zemalja

Vreme pokriveno

Prvi obuhvaćeni datum varira u zavisnosti od zemlje. Model pravi projekcije koje se protežu otprilike 90� dana nakon poslednjeg datuma ažuriranja.

Učestalost ažuriranja

Otprilike jednom nedeljno (iako se sve zemlje ne ažuriraju svaki put)

Šta je model?

Model je hibrid sa dve glavne komponente: statistička komponenta “model smrti” proizvodi procene smrti koje se koriste za uklapanje komponente SEIR modela.

Imajte na umu da je model imao dva značajna ažuriranja od prvog objavljivanja:

Za šta se model koristi?

IHME opisuje svoj model kao alat koji pomaže vladinim zvaničnicima da shvate kako različite političke odluke mogu uticati na tok pandemije i da planiraju promenu potražnje za zdravstvenom zaštitom.

Model pravi projekcije smrtnih slučajeva koje su bile veoma publicisane i ponekad kritikovane. 10 Iako je veliki deo kritika upućen na prethodnu verziju modela, poznatu kao 𠇌urveFit,” koja je korišćena pre nego što je komponenta SEIR dodata 4. maja. Projekcije su napravljene prema trenutno tri scenarija. 11

Na osnovu modela IHME objavljuje procene sledećih pokazatelja:

  • Prave infekcije (dosadašnje i predviđene)
  • Potvrđene smrti (projektovane)
  • Potrebe u bolnicama, intenzivnoj intenzivnoj nezi i respiratorima (dosadašnja i predviđena)
  • Efektivni broj reprodukcije, Rt (do danas i projektovani)
  • Nivoi testiranja (projektovani)
  • Mobilnost, kao zamena za socijalno distanciranje (projektovano)
Na kojim podacima se zasniva model?

Model smrti koristi podatke o potvrđenim slučajevima, potvrđenim smrtima, 12 i testiranju. 13

SEIR model je prilagođen rezultatu modela smrti korišćenjem procenjenog IFR-a za pozadinsko izračunavanje pravog broja infekcija.

Model koristi nekoliko drugih tipova podataka za simulaciju prenosa i progresije bolesti: mobilnost, politike socijalnog distanciranja, gustinu naseljenosti, sezonskost i stopu smrtnosti od pneumonije, zagađenje vazduha, nadmorsku visinu, stope pušenja i samoprijavljene kontakte i upotrebu maski. Detalji o izvorima ovih podataka mogu se naći na stranicama sa čestim pitanjima o modelima i ažuriranim procenama.

Koje su ključne pretpostavke i potencijalna ograničenja?

Model koristi procenjeni IFR zasnovan na podacima sa krstarenja Diamond Princess i Novog Zelanda. Iako IHME ne daje brojeve za njih, Diamond Princess IFR je procenjen na 0,6% (95% interval nesigurnosti od 0,2𠄱,3%). 14 Razlike između procenjenih i stvarnih IFR-a mogu uticati na tačnost procena modela.

Model smrti daje nekoliko pretpostavki o odnosu između potvrđenih smrti, potvrđenih slučajeva i nivoa testiranja. Na primer, to je smanjenje slučaj stopa smrtnosti (CFR) – odnos потврђено smrti do потврђено slučajevi 15 – odražava povećanje broja testiranja i pomak ka testiranju blagih ili asimptomatskih slučajeva. Ali CFR bi takođe mogao da se smanji iz drugih razloga, kao što je poboljšanje lečenja ili pad prosečne starosti zaraženih ljudi.

Model pretpostavlja da je promena u prenosu tokom vremena funkcija nekoliko unosa podataka (gore navedenih), kao što su mobilnost i gustina naseljenosti. Ako ove pretpostavke ne važe –, na primer, zato što su podaci manje relevantni ili je njihov odnos sa prenosom pogrešno specificiran –, model možda neće tačno pratiti pandemiju.

Više detalja se razmatra u čestim pitanjima o modelu iu različitim izveštajima o ažuriranju procena.

Kliknite da otvorite interaktivnu verziju

Youyang Gu (YYG)

SEIR model sa slojem mašinskog učenja (detalji od 23. avgusta 2020.)
Ažuriranje: Youyang Gu je najavio da je 5. oktobar 2020. poslednje ažuriranje modela

Ovaj grafikon prikazuje procene modela YYG o pravom broju dnevnih novih infekcija u Sjedinjenim Državama. Da biste videli procene za druge zemlje, kliknite na “Promeni zemlju.” Linije označene sa “upper” i “lower” pokazuju granice intervala nesigurnosti od 95%. Poređenja radi, prikazan je i broj potvrđenih slučajeva.

Веб сајт
Pokriveni regioni

71 zemlja širom sveta uključujući podnacionalne podatke za SAD i Kanadu

Vreme pokriveno

Prvi obuhvaćeni datum varira u zavisnosti od zemlje. Model pravi projekcije koje se protežu otprilike 90 dana nakon poslednjeg datuma ažuriranja.

Učestalost ažuriranja
Šta je model?

Model se sastoji od SEIR baze sa slojem za mašinsko učenje na vrhu za traženje parametara koji minimiziraju grešku između procena modela i posmatranih podataka.

Za šta se model koristi?

Youyang opisuje svoj model kako pravi projekcije stvarnih infekcija i smrti koje optimizuju za tačnost prognoze. Iako takođe naglašava da njegove projekcije pokrivaju niz mogućih ishoda i da projekcije nisu ȁPogrešne” ako pomažu u oblikovanju drugačijeg ishoda u budućnosti.

Na osnovu modela Youyang objavljuje procene sledećih pokazatelja:

  • Prave infekcije (dosadašnje i predviđene)
  • Potvrđene smrti (projektovane)
  • Efektivni broj reprodukcije, Rt (do danas i projektovani)
  • Ciljevi testova po danu (predviđeno)

Model se ne fokusira na projekcije prema različitim scenarijima, već je istraživao šta bi se dogodilo da su SAD odredile socijalno distanciranje nedelju dana ranije ili nedelju dana kasnije, ili da se 20% zaraženih ljudi odmah samoizolira.

Na kojim podacima se zasniva model?

Model je u skladu sa podacima o potvrđenim smrtnim slučajevima 16 korišćenjem procenjenog IFR-a za pozadinsko izračunavanje pravog broja infekcija. Potvrđeni slučajevi i podaci o hospitalizaciji se ponekad koriste da pomognu u postavljanju granica za pretragu parametara mašinskog učenja.

Koje su ključne pretpostavke i potencijalna ograničenja?

Model koristi procenjeni IFR za svaki region na osnovu inicijalno uočenog CFR-a tog regiona. IFR se zatim smanjuje 17 linearno tokom perioda od tri meseca sve dok ne bude 30% svoje početne vrednosti da bi se odrazila niža prosečna starost infekcija i poboljšanje tretmana. Trenutno se procenjuje da je IFR 0,2𠄰,4% u većini SAD i Evrope. Razlike između procenjenih i stvarnih IFR-a mogu uticati na tačnost procena modela.

Model pretpostavlja da će biti neprijavljenih smrtnih slučajeva tokom prvih nekoliko nedelja pandemije regiona i da će se ovo prijavljivanje manjeg broja smanjivati ​​sve dok se broj potvrđenih smrtnih slučajeva ne izjednači sa stvarnim smrtnim slučajevima. Kao što je ranije pomenuto, to često nije slučaj, pa bi model mogao potceniti pravi zdravstveni teret.

Model pravi pretpostavke o tome kako će ponovno otvaranje uticati na socijalno distanciranje i na kraju na prenošenje. Na primer, ako ponovno otvaranje izazove ponovnu pojavu infekcija, model pretpostavlja da će regioni preduzeti mere da smanje prenos, što je modelirano ograničavanjem Rt. Takođe pretpostavlja datum ponovnog otvaranja za regione (posebno izvan SAD i Evrope) gde je pravi datum nepoznat.

Model je kreiran i optimizovan za SAD. Stoga za druge zemlje procene modela mogu biti manje tačne.

Za kompletnu listu pretpostavki i ograničenja pogledajte stranicu modela �out”.

Kliknite da otvorite interaktivnu verziju

Londonska škola higijene i tropske medicine (LSHTM)

Statistički model za procenu nedovoljnog prijavljivanja infekcija (detalji od 23. avgusta 2020.)

Ovaj grafikon prikazuje procene LSHTM modela o pravom broju dnevnih novih infekcija u Sjedinjenim Državama. Da biste videli procene za druge zemlje, kliknite na “Promeni zemlju.” Linije označene sa “upper” i “lower” pokazuju granice intervala nesigurnosti od 95%. Poređenja radi, prikazan je i broj potvrđenih slučajeva.

Веб сајт
Pokriveni regioni

159 zemalja i teritorija širom sveta (oni sa najmanje 10 potvrđenih smrtnih slučajeva od ukupno 210)

Vreme pokriveno

Prvi obuhvaćeni datum varira u zavisnosti od zemlje. Model ne pravi projekcije.

Učestalost ažuriranja
Šta je model?

Model počinje sa CFR-om zemlje i prilagođava ga činjenici da između potvrde slučaja i smrti (ili oporavka) postoji kašnjenje od otprilike 2𠄳 nedelje. 18 Ovaj CFR prilagođen kašnjenju se zatim upoređuje sa osnovnim CFR prilagođenim kašnjenjem da bi se procenila ȁStopa utvrđivanja” – proporcija svih simptomatično infekcije koje su zaista potvrđene. 19

Ova procenjena stopa utvrđivanja se zatim koristi za prilagođavanje broja potvrđenih slučajeva 20 da bi se procenio pravi broj simptomatskih infekcija. Da konačno procenim укупно infekcije, procena simptomatskih infekcija je prilagođena da uključi asimptomatski infekcije, za koje se procenjuje da čine između 10�% (medijana 50%) ukupnih infekcija. 21

Za šta se model koristi?

LSHTM opisuje svoj model kao alat koji pomaže u razumevanju nivoa neotkrivene progresije epidemije i kao pomoć pri planiranju odgovora, kao što je kada uvesti i opustiti mere kontrole.

Na osnovu modela LSHTM objavljuje procene stope utvrđivanja.

Na kojim podacima se zasniva model?

Model je zasnovan na podacima o potvrđenim smrtnim slučajevima i potvrđenim slučajevima. 22

Koje su ključne pretpostavke i potencijalna ograničenja?

Model pretpostavlja osnovnu, CFR prilagođenu kašnjenju od 1,4% i da je svaka razlika između toga i CFR-a prilagođenog kašnjenju u zemlji u potpunosti posledica nedovoljno utvrđivanja. Ali mnogi drugi faktori verovatno igraju ulogu, kao što su opterećenje zdravstvenog sistema, faktori rizika od COVID-19 u populaciji, starost zaraženih i još mnogo toga.

Pretpostavljeni osnovni CFR zasnovan je na podacima iz Kine i ne uzima u obzir različite starosne distribucije van Kine. Ovo dovodi do toga da je stopa utvrđivanja precenjena u zemljama sa mlađom populacijom i potcenjena u zemljama sa starijim stanovništvom. 23

Model pretpostavlja da je broj potvrđenih smrtnih slučajeva jednak pravom broju umrlih. Kao što je ranije pomenuto, to često nije slučaj, pa bi model mogao potceniti pravi zdravstveni teret.

Podaci o prijavljenim smrtnim slučajevima se ponekad menjaju retroaktivno, što može biti izazovno za model i može uticati na njegove procene.

Više pretpostavki i ograničenja razmatrano je u celom izveštaju.

Kliknite da otvorite interaktivnu verziju

Kako da razmišljamo o ovim modelima i njihovim procenama?

Sva četiri modela koja smo posmatrali slažu se da su istinske infekcije daleko više od potvrđenih slučajeva, ali se ne slažu za koliko. Sada imamo izvestan uvid u ove razlike: svi modeli se u određenom stepenu razlikuju po tome za šta se koriste, kako rade, podacima na kojima su zasnovani i pretpostavkama koje prave.

Transparentnost ovih razlika pomaže nam da razumemo kako treba da razmišljamo o ovim modelima i njihovim procenama. Na primer, razumevanje da se neki modeli koriste za planiranje scenarija, a ne za predviđanje (kao što je ICL’s), dok su drugi optimizovani za tačnost prognoze (kao Youyang’s) stavlja njihove procene u kontekst. I svi modeli prave različite pretpostavke da svaki ima ograničenja za koja možemo odlučiti da li su ta ograničenja relevantna za datu situaciju.

Na kraju, ipak, želimo da imamo poverenja da modeli mogu tačno da prate pandemiju. Možemo da kalibriramo naše poverenje u različite modele tako što ćemo njihovim procenama dati proveru stvarnosti.

Jedan od načina da se to uradi je upoređivanje procena modela sa nekim uočenim podacima ȁOsnovne istine”. Na primer, ako model predviđa broj smrtnih slučajeva za četiri nedelje od sada, možemo sačekati četiri nedelje i uporediti prognozu sa smrtnim slučajevima koji se stvarno dešavaju. 24

Ali ponekad se osnovna istina ne može lako uočiti, kao što je slučaj sa pravim brojem infekcija. Ovde moramo da tražimo konvergirajući dokazi iz drugih istraživanja, kao što su studije seroprevalencije koje testiraju antitela na COVID-19 u krvnom serumu da bi se procenilo koliko je ljudi ikada bilo zaraženo. 25

Sticanjem dubljeg, nijansiranog razumevanja ovih modela i njihovih snaga i slabosti, možemo da ih koristimo kao vredne alate za pomoć u postizanju napretka u borbi protiv pandemije.

Endnotes

Datum ažuriranja ove stranice ne mora da se podudara sa datumom kada su same procene modela ažurirane. Za datume ažuriranja procene modela pogledajte dole navedene tabele pojedinačnih modela. Proverite veb lokacije modela za najnovija ažuriranja.

Zaraženi ljudi se možda neće testirati iz nekoliko razloga, kao što je nedostatak lakog pristupa testiranju ili čak ne znaju da su zaraženi jer nemaju simptome (iako su i dalje u stanju da prenesu virus). Procenjuje se da takve asimptomatske infekcije čine 10-70% ukupnih infekcija. Izvor: CDC COVID-19 pandemijski scenariji planiranja.

U upotrebi je mnogo modela osim ova četiri, uključujući i druge istraživačke grupe koje ovde pokrivamo. Izabrali smo ova četiri modela jer su istaknuti, koristili su ih kreatori politike i redovno su ažurirani. Koristimo ih više za ilustraciju nego za kompletnost.

Izgovara se izgovaranjem svakog slova "S-E-I-R."

Model Londonske škole nije SEIR model.

Takođe se zove “vremenski promenljivi” broj reprodukcije.

Iako su projekcije važan aspekt za šta se ovaj i neki drugi modeli koriste, mi ih ne pokrivamo u ovom članku.

Kako je saopštio Evropski centar za prevenciju i kontrolu bolesti (ECDC).

Model pretpostavlja da su u parkovima „značajni kontakti zanemarljivi“ i da „povećanje broja stanovnika neće promeniti kontakte u domaćinstvu“.

Za više detalja o scenarijima pogledajte najčešća pitanja o modelu.

Potvrđeni podaci o slučajevima i smrti prema podacima Univerziteta Džons Hopkins i nekoliko zvaničnih izvora.

Kako je izvestio Projekat praćenja COVID-a (za SAD), zvanični izvori (Brazil i Dominikanska Republika) i Naš svet u podacima (sve ostale zemlje).

Rasel i ostali (2020). Procena odnosa zaraze i smrtnosti slučajeva od korona virusne bolesti (COVID-19) korišćenjem podataka prilagođenih uzrastu od izbijanja na brodu za krstarenje Diamond Princess. Evronadzor, 25(12). https://doi.org/10.2807/1560-7917.ES.2020.25.12.2000256

CFR je sličan IFR-u, ali koristi потврђено smrtnih slučajeva i slučajeva prijavljenih po zemljama. Nasuprot tome, IFR koristi stvarne smrti i infekcije, koje uglavnom nisu poznate i moraju se proceniti.

Kako je izvestio Univerzitet Džons Hopkins. Podaci se izglađuju pre uklapanja.

Osim u „regionima koji su kasnije pogođeni kao što je Latinska Amerika, čekamo dodatna 3 meseca pre nego što počnemo da smanjujemo IFR“.

Tipičan CFR proračun deli potvrđene smrti sa potvrđenim slučajevima saopšteno istog dana, ali te smrti su zapravo uzrokovane slučajevima potvrđenim otprilike 2-3 nedelje ranije.

Pretpostavlja se da su svi, osim trivijalnog broja potvrđenih slučajeva, simptomatski.

Ovi podaci se prvo izglađuju.

U skladu sa ovom metodologijom i uz konsultacije sa istraživačima LSHTM-a, vršimo ove proračune da bismo proizveli procene ukupnih infekcija koje su ovde predstavljene.

I jedno i drugo kako je izvestio ECDC.

U sekundarnoj analizi, istraživači LSHTM prilagođavaju osnovnu CFR za različite starosne distribucije. Ali ovo ima svoje pretpostavke i ograničenja i stoga očigledno nije bolji pristup. Više detalja možete pronaći u celom izveštaju.

Iako još uvek moramo da uzmemo u obzir da takve prognoze možda neće pratiti šta se zapravo dešava ako pomognu u oblikovanju drugačijeg ishoda u budućnosti.

Neki trenutni napori da se prognoze ocenjuju za tačnost su Youyang Gu, IHME, The Zoltar Project i Covid Compare.

Istraživači LSHTM-a, na primer, uporedili su svoje modelske procene sa procenama seroprevalencije i pronašli dobro slaganje. Više o ovome možete pročitati u njihovom celom izveštaju.

Slobodno ponovo koristite naš rad

Svi vizuelni prikazi, podaci i kodovi koje proizvodi Our World in Data imaju potpuno otvoren pristup pod licencom Creative Commons BY. Imate dozvolu da ih koristite, distribuirate i reprodukujete na bilo kom mediju, pod uslovom da se navedu izvor i autori.

Podaci koje su proizvela treća lica i učinili dostupnim od strane Our World in Data podležu uslovima licence originalnih nezavisnih autora. Uvek ćemo navesti originalni izvor podataka u našoj dokumentaciji, tako da uvek treba da proverite licencu svih takvih podataka treće strane pre upotrebe i ponovne distribucije.


Korišćenje drugačije parametrizacije

Optim funkcija vam omogućava da očitate hesian

Hesian može biti povezan sa varijansom parametara (U R, dat rezultat optim-a sa hesijevom matricom, kako izračunati intervale poverenja parametara koristeći hesiju matricu?). Ali imajte na umu da vam je za ovu svrhu potreban Hesian verovatnoće dnevnika koji nije isti kao RSS (razlikuje se faktorom, pogledajte kod ispod).

Na osnovu ovoga možete videti da je procena varijanse uzorka parametara veoma velika (što znači da vaši rezultati/procene nisu baš tačne). Ali takođe imajte na umu da je greška u velikoj meri povezana. To znači da možete promeniti parametre tako da ishod nije u velikoj korelaciji. Neki primeri parametrizacije bi bili:

tako da stare jednačine (imajte na umu da se koristi skaliranje za 1/N):

što je posebno privlačno jer za početak dobijate ovu približnu vrednost $I^prime = cI$. Ovo će vam omogućiti da vidite da u osnovi procenjujete prvi deo koji je približno eksponencijalni rast. Moći ćete vrlo precizno da odredite parametar rasta, $c = eta - gamma$ . Međutim, $eta$ i $gamma$, ili $R_0$, mogu не lako odrediti.

U kodu ispod napravljena je simulacija sa istom vrednošću $c=eta - gamma$ ali sa različitim vrednostima za $R_0 = eta / gamma$. Možete videti da podaci ne mogu da nam omoguće da razlikujemo sa kojim različitim scenarijima (koji su različiti $R_0$) imamo posla (i biće nam potrebno više informacija, npr. lokacije svake zaražene osobe i pokušaj da se vidi kako se infekcija širi napolje).

Zanimljivo je da se nekoliko članaka već pretvara da imaju razumne procene od $R_0$. Na primer, ovaj preprint Novi koronavirus 2019-nCoV: rana procena epidemioloških parametara i predviđanja epidemije (https://doi.org/10.1101/2020.01.23.20018549)


Model SEIR¶

U verziji SEIR modela, pretpostavlja se da su svi pojedinci u populaciji u konačnom broju stanja.

Stanja su: osetljiva (S), izložena (E), inficirana (I) i uklonjena (R).

Ovaj tip podeljenog modela ima mnogo proširenja (npr. SEIRS opušta doživotni imunitet i dozvoljava prelaz sa $ R na S $).

  • Oni u stanju R su zaraženi i ili su se oporavili ili umrli. Imajte na umu da se u nekim varijacijama R može odnositi samo na oporavljene agense.
  • Za one koji su se oporavili i žive pretpostavlja se da su stekli imunitet.
  • Oni u izloženoj grupi još nisu zarazni.

Promene u zaraženom stanju¶

U okviru SEIR modela, tok kroz stanja prati putanju $ S do E do I do R $.

Ignorisaćemo rođenje i smrt bez kovida tokom našeg vremenskog horizonta i pretpostavićemo veliki, konstantan broj individua veličine $ N $.

Sa ovim, simboli $ S, E, I, R $ se koriste za ukupan broj pojedinaca u svakom stanju u svakom trenutku, a $ S(t) + E(t) + I(t) + R( t) = N $ za sve $ t $.

Pošto smo pretpostavili da je $ N $ veliko, možemo koristiti kontinuumsku aproksimaciju za broj pojedinaca u svakoj državi.

Prelasci između tih država su regulisani sledećim stopama

  • $ eta(t) $ se naziva брзина преноса или efektivna stopa kontakta (brzina kojom se pojedinci sudaraju sa drugima i izlažu ih virusu).
  • $ sigma $ se naziva stopa infekcije (stopa kojom se oni koji su izloženi zaraze)
  • $ gamma $ se zove Стопа опоравак (stopa kojom se zaraženi ljudi oporavljaju ili umiru)

Na stopu $ eta(t) $ utiču i karakteristike bolesti (npr. vrsta i dužina produženog kontakta potrebnog za prenošenje) i ponašanje pojedinaca (npr. socijalno distanciranje, higijena).

SEIR model se tada može napisati kao

$ egin frac & = - eta , S , frac frac & = eta , S , frac - sigma E frac & = sigma E - gamma I frac & = gama I end ag <1>$

Ovde, $ dy/dt $ predstavlja vremenski izvod za određenu promenljivu.

Prvi član (1), $ -eta , S , frac $, predstavlja tok pojedinaca koji se kreću od $ S do E $, i naglašava osnovnu dinamiku epidemije

  • Pojedinci u osetljivom stanju (S) imaju stopu $ eta(t) $ produženih kontakata sa drugim pojedincima gde bi došlo do prenošenja ako je bilo koji od njih zaražen
  • Od ovih kontakata, delić $ frac$ će biti sa zaraženim agensima (pošto smo pretpostavili da izložene osobe još nisu zarazne)
  • Konačno, postoje $ S(t) $ podložne osobe.
  • Znak označava da je proizvod tih pojmova odliv iz stanja $S$ i priliv u stanje $E$.

Osnovni broj reprodukcije¶

Ako je $ eta $ konstantan, onda bismo mogli definisati $ R_0 := eta / gamma $. Ovo je poznato osnovni reprodukcijski broj za model SEIR. Pogledajte [HSW05] za više detalja.

Kada je brzina prenosa promenljiva u vremenu, sledićemo notaciju u [FVJ20] i pozivaćemo se na $ R_0(t) $ kao na verziju osnovnog broja reprodukcije koja se menja u vremenu.

Analiza sistema u (1) pruža izvesnu intuiciju o izrazu $R_0(t) := eta(t) / gamma $:

  • Pojedinačni prelazi iz inficiranog u uklonjeno stanje se dešavaju Poissonovom stopom $ gamma $, očekivano vreme u zaraženom stanju je $ 1/gamma $
  • Produžene interakcije se dešavaju brzinom $ eta $, tako da će nova osoba koja uđe u zaraženo stanje potencijalno prenositi virus u proseku $ R_0 = eta puta 1 / gamma $ drugi
  • U složenijim modelima, videti [HSW05] za formalnu definiciju proizvoljnih modela i analizu uloge $ R_0 < 1 $.

Imajte na umu da je oznaka $ R_0 $ standardna u epidemiološkoj literaturi - iako zbunjujuća, pošto $ R_0 $ nije povezan sa $ R $, simbolom koji predstavlja uklonjeno stanje. Do kraja predavanja izbegavaćemo korišćenje $R $ za uklonjeno stanje.

Pre direktnog rešavanja modela, izvršićemo nekoliko promena u (1)

  • Ponovo parametrizujte koristeći $ eta(t) = gamma R_0(t) $
  • Definišite proporciju pojedinaca u svakoj državi kao $ s := S/N $ itd.
  • Podelite svaku jednačinu u (1) sa $ N $ i napišite sistem ODE u smislu proporcija

$ egin frac & = - gama , R_0 , s , i frac & = gamma , R_0 , s , i - sigma e frac & = sigma e - gamma i frac & = gamma i end ag <2>$

Pošto države čine particiju, mogli bismo da rekonstruišemo „uklonjeni“ deo populacije kao $ r = 1 - s - e - i $. Međutim, ako ga držite u sistemu, crtanje će biti zgodnije.

Implementacija¶

Počinjemo sa implementacijom jednostavne verzije ovog modela sa konstantom $ R_0 $ i nekim osnovnim vrednostima parametara (o čemu ćemo kasnije razgovarati).

Prvo definišite sistem jednačina

S obzirom na ovaj sistem, biramo početni uslov i vremenski raspon i kreiramo ODEProblem koji inkapsulira sistem.

Sa ovim, izaberite ODE algoritam i rešite problem početne vrednosti. Dobar podrazumevani algoritam za ne-čvrste ODE-ove ove vrste mogao bi biti Tsit5() , što je metoda Tsitouras 5/4 Runge-Kutta).

Nismo dali ni skup vremenskih koraka ni veličinu dt vremenskog koraka za rešavanje. Najtačniji ODE rešavači visokih performansi prikladni za ovaj problem koriste adaptivni vremenski korak, menjajući veličinu koraka na osnovu stepena zakrivljenosti u derivatima.

Ili, kao alternativna vizualizacija, proporcije u svakom stanju tokom vremena

Dok održavamo osnovni sistem ODE-ova u $ (s, e, i, r) $, proširićemo osnovni model da bismo omogućili neke eksperimente politike i proračune agregatnih vrednosti.

Proširivanje modela¶

Prvo, možemo razmotriti neke dodatne kalkulacije kao što je kumulativni broj slučajeva (tj. svi oni koji imaju ili su imali infekciju) kao $ c = i + r $. Razlikovanje tog izraza i zamena sa vremenskim derivatima $ i(t) $ i $ r(t) $ daje $ frac = sigma e $.

Pretpostavićemo da brzina prenosa prati proces sa reverzijom na vrednost $ ar_0(t) $ na koji bi politika mogla uticati. Intuicija je da čak i ako ciljani $ ar_0(t) $ je promenjeno kroz socijalno distanciranje/itd., zaostajanje u ponašanju i implementaciji bi izgladilo tranziciju, gde $ eta $ upravlja brzinom kretanja $ R_0(t) $ ka $ ar_0(t) $.

Konačno, neka je $ delta $ stopa mortaliteta, koju ćemo ostaviti konstantnom. Kumulativne smrti se mogu integrisati kroz tok $ gamma i $ koji ulazi u stanje „Uklonjeno“.

Definišite kumulativni broj umrlih kao $ D(t) $ sa proporcijom $ d(t) := D(t)/N $.

Iako bismo mogli da integrišemo smrtne slučajeve s obzirom na rešenje modela ex-post, pogodnije je koristiti integrator ugrađen u ODE rešavač. To jest, dodajemo $ frac

d(t) $ umesto da računamo $ d(t) = int_0^t delta gamma, i( au) d au $ ex-post.

Ovo je uobičajen trik kada se rešavaju sistemi ODE. Iako je u principu ekvivalentno korišćenju odgovarajuće kvadraturne šeme, ovo postaje posebno zgodno kada se za rešavanje ODE-ova koriste adaptivni algoritmi sa vremenskim korakom (tj. ne postoji redovna vremenska mreža). Imajte na umu da kada to radite, $ d(0) = int_0^0 delta gamma i( au) d au = 0 $ je početni uslov.

Sistem (2) i dopunske jednačine se mogu napisati u vektorskom obliku $ x := [s, e, i, r, R₀, c, d] $ sa tuple parametara $ p := (sigma, gamma, eta, delta, ar_0(cdot)) $

Imajte na umu da je u tim parametrima ciljani broj reprodukcije, $ ar_0(t) $, je egzogena funkcija.

Model je tada $ frac = F(x,t) $ gde,

$ F(x,t) := egin -gamma , R_0 , s , i gamma , R_0 , s , i - sigma e sigma , e - gamma i gamma i eta ( ar_0(t) - R_0) sigma e delta , gamma , i end ag <5>$

Imajte na umu da ako je $ ar_0(t) $ je vremenski nepromenljivo, onda je i $ F(x, t) $ vremenski nepromenljivo.

Parameters¶

Parametre, $ sigma, delta, $ i $ gamma $ treba smatrati parametrima određenim iz biologije i medicinske tehnologije, i nezavisnim od društvenih interakcija.

Kao u Atkesonovoj napomeni, postavili smo

  • $ sigma = 1/5,2 $ da odražava prosečan period inkubacije od 5,2 dana.
  • $ gamma = 1/18 $ da odgovara prosečnom trajanju bolesti od 18 dana.
  • $ ar_0(t) = R_0(0) = 1,6 $ da odgovara a osnovni reprodukcijski broj od 1.6, i inicijalno vremenski nepromenljiva
  • $ delta = 0,01 $ za stopu mortaliteta od jednog procenta

Kao što ćemo u početku razmotriti slučaj gde je $ R_0(0) = ar_0(0) $, parametar $ eta $ neće uticati na prvi eksperiment.


SIR Epidemijski model za grip A (H1N1): Modeliranje izbijanja pandemije u Kalkuti, Zapadni Bengal, Indija, 2010.

Ovo delo je licencirano pod međunarodnom licencom Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0.

U ovom izveštaju, širenje pandemijski grip A (H1N1) koja je imala epidemiju u Kalkuti, Zapadni Bengal, Indija, 2010. biće simulirana. Основна epidemijski SIR model će se koristiti, opisuje tri populacije: a осетљив stanovništvo, an заражен stanovništvo, i a oporavila stanovništva i pretpostavlja da je ukupna populacija (zbir ove 3 populacije) fiksna tokom perioda studiranja.

Postoje dva parametra za ovaj model: odnosno stopa napada (β) po zaraženoj osobi dnevno kroz kontakte i stopu oporavka (α). U početku će u populaciji biti mali broj zaraženih osoba. Sada simulacijom/analizom treba odgovoriti na sledeća pitanja:

1. Da li će se broj zaraženih značajno povećati, izazivajući epidemiju, ili će grip nestati.
2. Pod pretpostavkom da postoji epidemija, kako će se završiti? Da li će i dalje biti podložnih kada se završi?
3. Koliko dugo će trajati epidemija?

Тхе Ojlerov metod prvenstveno će se koristiti za rešavanje sistem diferencijalnih jednačina за SIR model i izračunaj tačke ravnoteže (zajedno sa nekima
pokušaji analitičkog rešenja za nekoliko pojednostavljenih specijalnih slučajeva). Овде су
zaključci dobijeni iz simulacija:

1. Kada je stopa oporavka α je ≈ 0 ili veoma niska u poređenju sa stopom napada β, grip će se pokazati kao epidemija i prvo će se zaraziti celokupna populacija (što je veća β što je brže izbijanje epidemije).

2. Tačnije, kada je početna osetljiva populacija S(0) veći je od inverznog broja osnovnog reprodukcijskog broja 1/ R0 = α / β, а prava epidemija će izbiti.

3. Kada je početna osetljiva populacija S(0) je manji od inverznog broja osnovnog reprodukcijskog broja 1/R0=α/β, затим prava epidemija воља никад избити.

4. Ako je početna osetljiva populacija različita od nule, na kraju (u ravnoteži) uvek će postojati neka osetljiva populacija.

5. Kada postoji epidemija, ona će se na kraju završiti u tački ravnoteže sa 0 zaraženih populacija, koliko brzo dostiže ravnotežu zavisi od stope oporavka (što je veći α, to je brže uklanjanje infekcije).

6. Vreme do dostizanja ravnoteže može se izračunati korišćenjem Ojlerove metode, zavisi od parametara α (što je veće to brže) i β (što veće to brže) i početne veličine zaražene naseljenosti I(0) (što je veće to brže ).

Pandemija gripa A (H1N1) je 2010. godine izbila u Kalkuti, Zapadni Bengal, Indija. Povećani broj slučajeva obolelih od gripa (ILI) prijavljen je u metropolitanskoj oblasti Velike Kolkate (GKMA) tokom jula i avgusta 2010, kao što je navedeno u [3]. Glavna motivacija za ovaj istraživački projekat biće razumevanje širenja pandemije, izračunavanje tačaka ravnoteže i pronalaženje uticaja početnih vrednosti stope zaraženosti i parametara stope napada/oporavka na širenje epidemije, koristeći simulacije koristeći osnovni model epidemije SIR.

Ojlerov metod će se prvenstveno koristiti za rešavanje sistema diferencijalnih jednačina
za SIR model i izračunati tačke ravnoteže. Prvo će se razmotriti nekoliko pojednostavljenih specijalnih slučajeva i analitičke i numeričke metode (sa Ojlerovom metodom) će se koristiti za izračunavanje tačaka ravnoteže. Tada će se naći rešenje za generički model. Kao što je opisano u [6], SIR model se takođe može efikasno koristiti (u širem smislu
kontekstu) za modeliranje širenja računarskog virusa u računarskim mrežama, posebno za mreže sa Erdos-Renyi tipom slučajnog grafa topologije.

SIR Epidemic Model

SIR model je epidemiološki model koji izračunava teoretski broj ljudi zaraženih zaraznom bolešću u zatvorenoj populaciji tokom vremena. Jedan od osnovnih SIR modela je Model Kermack-McKendrick. Kermack-McKendrick model se koristi za objašnjenje brzog porasta i pada broja infektivnih pacijenata uočenih u epidemijama. Pretpostavlja se da je veličina populacije fiksna (tj. nema rođenja, nema smrti usled bolesti ili prirodnih uzroka), period inkubacije infektivnog agensa
je trenutna, a trajanje infektivnosti je isto kao i dužina trajanja bolesti. Takođe pretpostavlja potpuno homogenu populaciju bez starosne, prostorne ili socijalne strukture.

Na sledećoj slici 2.1 prikazana je slika ponovo sortiranog sa elektronskim mikroskopom H1N1virus gripa fotografisan u Laboratoriji za grip CDC. Virusi su prečnika 80 − 120 nm [1].

2.1 Osnovni matematički model

Početni model za epidemiju je takozvani SIR model, gde С označava osetljivu populaciju, ljude koji mogu biti zaraženi. И je već zaražena populacija, ljudi koji su zarazni, i Р označava oporavljeno stanovništvo, ljude koji više nisu zarazni.

2.1.1 Diferencijalne jednačine

Тхе SIR model može se definisati korišćenjem sledećih običnih diferencijalnih jednačina 2.1:

• Услови dS/dt , dI/dt , dR/dt u diferencijalnim jednačinama naznačiti stopu promene veličine osetljive populacije, veličinu zaražene populacije i veličinu oporavljene populacije, respektivno.

• Услови β и α navedite stopu napada (broj podložnih osoba se zarazi dnevno) i stopu oporavka od gripa (obrnuto od broja dana kada osoba ostaje zaražena), respektivno.

• Visoka vrednost od α znači da će osoba biti zaražena gripom za manji broj dana i visoku vrednost od β znači da će se epidemija brzo širiti.

• Takođe, kao što se vidi odozdo, iz diferencijalnih jednačina se može pokazati da populacija (S + I + R) pretpostavlja se da je konstantan.

2.1.2 Prikupljeni podaci, jedinice i vrednosti za konstante

• Kao što se može videti iz sledeće slike 2.2, fokus ove analize biće ograničen na stanovništvo u oblasti Kolkata Metropolitan Corporation (KMC, XII) gde se može pretpostaviti da je populacija ≈ 4,5 miliona ili 4500 hiljada, prema [ 7].

Јединице

– Sve jedinice stanovništva (S, I, R) biće u hiljadama osoba (tako da ukupna populacija
N = 4500).
– Kao što se može izvesti iz diferencijalnih jednačina 2.1, jedinica za β će biti u
10^(−6) /osoba/dan (β = 25 znači da se 25 osoba na milion inficira
kontakt osetljivo-inficirani po zaraženoj osobi dnevno).
– Slično tome, jedinice α će biti u 10^(−3) / dan (α = 167 će značiti 167 × 10^(−3) /
dan se oporavlja od gripa dnevno).

• Stopa napada je 20-29/100000 i broj dana zaraženih (tj. inverzna stopa oporavka) = 5-7 dana u proseku (sa nekoliko izuzetaka), prema [3].

• Tipične vrednosti za β i α mogu se pretpostaviti da su 25 /osoba / dan i 10^3/6 ≈ 167 / dan, respektivno.

2.2 Pojednostavljeni model 1 (sa α = 0)

• Prvo se kreira pojednostavljeni model pod pretpostavkom da je α = 0 (/dan) i da je R = 0, tako da kada se jednom zarazi, osoba ostaje zarazna zauvek. Pošto je S(t) + I(t) + R(t) = S(t) + I(t) = N konstantna (pošto je veličina populacije N fiksna), S(t) se može eliminisati i jedna diferencijalna jednačina u samo I(t) se dobija kao što je prikazano u jednačini ispod 2.2.

• Takođe, neka (fiksna) veličina populacije N = 4500 = S(0) + I(0), (u hiljadama osoba), inicijalno broj zaraženih = I(0) = 1 (u hiljadama osoba) i broj osetljivih lica S(0) = N −I(0) = 4499 (u hiljadama lica), respektivno. Neka je β = 25 × 10^(−6) /osoba / dan) za početak.

2.2.1 Analitičko rešenje

• Analitičko rešenje se može naći prateći korake prikazane u Dodatku A, a konačno rešenje je prikazano u dole navedenim jednačinama 2.3:


• Sledeća slika 2.3 prikazuje logistički (ograničeni) rast u I(t) (u hiljadama osoba) w.r.t. vreme (u danima) za različite vrednosti stope napada β×10^(−6) (/osoba/dan). Očekivano, što je stopa napada veća, sve osobe u populaciji se brže zaraze.

2.2.2 Pronalaženje tačaka ravnoteže za I

• Tačke ravnoteže su tačke u kojima je stopa promene I jednaka nuli, tačke koje zadovoljavaju sledeću jednačinu

biol-2022/8175/image_5A02OYot2iOV6hgJA.png?w=150&h=86 150w" sizes="(max-width: 236px) 100vw, 236px" />

• Uzimajući u obzir malu okolinu ravnotežne tačke na I = 0, sa slike 2.4 se može videti da kad god je I > 0, dI/dt > 0, tako da se I povećava i odlazi od tačke ravnoteže.

• Dakle, tačka ravnoteže u I = 0 je nestabilna.

• Kod I = N = 4500 (u hiljadama osoba) to je stabilna ravnoteža. Kao što se može videti sa sledeće slike 2.4, u maloj okolini tačke ravnoteže na I = 4500, ona uvek raste/opada prema tački ravnoteže.

• U malom ε > 0 komšiluku na I = 4500 (u hiljadama osoba),

1. dI/dt > 0, pa se I povećava kada je I <= 4500 − ε .
2. dI/dt > 0, tako da se I smanjuje kada je I >= 4500 + ε .

• Isto se može uočiti i iz polja pravca sa slike 2.5.

• Dakle, ravnoteža na I = 4500 je stabilna.

2.2.3 Numeričko rešenje sa Ojlerovom metodom

• Algoritam (preuzet sa slajdova kursa) prikazan na sledećoj slici 2.6 će se koristiti za numeričko izračunavanje (ravnotežnog) rešenja korišćenjem Ojlerove metode.

• Kao što se može videti sa slike 2.6, tada se infekcija u sledećem vremenskom koraku može (linearno) aproksimirati (iterativno) zbirom trenutnog vremenskog koraka infekcije sa proizvodom razlike u vremenskom koraku i derivata procenjene infekcije u trenutnom vremenskom koraku.

2.2.3.1 Pronalaženje prave veličine koraka (sa β = 25 × 10^(−6)/osoba/dan)

• Da bi se odredila najbolja veličina koraka za Ojlerovu metodu, prvo se Ojlerova metoda izvodi sa različitim veličinama koraka kao što je prikazano na slici 2.7.

• Kao što se može videti iz sledeće tabele 2.1 i slike 2.7, najveće razlike u vrednosti I (sa dve uzastopne veličine koraka) se javljaju oko 78 dana:


• Kao što se može videti iz tabele u Dodatku B, prvi put kada greška postane manja od 1 osobe (u hiljadama) je sa veličinom koraka 1/512 , stoga će se ova veličina koraka koristiti za Ojlerovu metodu.

2.2.3.2 Izračunavanje (stabilne) tačke ravnoteže

• Sada će se ovaj vremenski korak koristiti za rešavanje problema za pronalaženje ravnotežnog vremena teq(u danima). Финд teq tako da je N − I(teq) < ε = 10^(−6) , dobijeno rešenje je teq = 272,33398 dana ≈ 273 dana.

• Sada, iz analitičkog rešenja 2.3 i sledeće slike 2.8, može se potvrditi da je teq rešenje koje je Ojlerov metod dobio prilično tačno (do tolerancije ε).

2.2.3.3 Rezultati sa β = 29 × 10^(−6) / osoba / dan, I(0) = 1 osoba

• Nakon istih iteracija kao gore, najveća greška se dobija na t = 67 dana u ovom slučaju, kao što je prikazano na slici 2.9.

• Prvi put kada greška postane manja od jedne osobe za t = 67 dana sa Ojlerovom metodom je sa veličinom koraka 1/512 opet.

• Dobijeno rešenje je teq = 234,76953125 dana ≈ 235 dana, tako da se ravnoteža (kada se sva populacija inficira) dobija ranije kako se očekivalo, pošto je stopa napada β veća.

2.2.3.4 Rezultati sa β = 25 × 10−6 / osoba / dan, sa različitim početne vrednosti za zaražene osobe (I(0))

• Nakon istih iteracija kao gore, ravnotežna tačka se izračunava korišćenjem Ojlerove metode sa različitim vrednostima početne inficirane populacije I(0), kao što je prikazano na slici 2.10.

• Dobijena rešenja su teq = 272,33, 258,02, 251,85, 248,23, 245,66, 245,66 dana za I(0) = 1, 5, 10, 15, 20 dana, respektivno. Dakle, ravnoteža se postiže ranije kada je početna veličina zaražene populacije veća, kao što se očekivalo.

2.3 Pojednostavljeni model 2 (sa β = 0)

• Dalje, razmatra se još jedan pojednostavljeni model uz pretpostavku da je β = 0 i da je α > 0, tako da grip ne može više nikoga da zarazi (podložan, ako ga ima, verovatno zato što su se svi zarazili), zaražena osoba se oporavlja od gripa sa brzinom α. Ova situacija se može ponovo opisati sa jednom diferencijalnom jednačinom u samo I(t) kao što je prikazano u jednačini ispod 2.4.

biol-2022/8175/image_v25E7ScR9do2T4xDhL.png?w=150&h=30 150w" sizes="(max-width: 351px) 100vw, 351px" />

• Takođe, neka je cela populacija zaražena, N = 4500 = I(0), (u hiljadama osoba), inicijalno broj osetljivih = S(0) = 0, respektivno. Neka je α = 167 × 10^(−3)
(/ dan) za početak.

2.3.1 Analitičko rešenje

• Analitičko rešenje se može naći prateći korake prikazane u dole navedenim jednačinama 2.5:

• Sledeća slika 2.11 prikazuje eksponencijalno raspadanje u I(t) (u hiljadama osoba) w.r.t. vreme (u danima) za različite vrednosti stope oporavka α × 10^(−3) (/dan). Očekivano, što je veća stopa oporavka, brže se sve osobe u populaciji otarase infekcije.

• Sada, I(t) + R(t) = N (pošto je S(t) = 0 zauvek, pošto više nema infekcije) i I(0) = N, u kombinaciji sa gornjim analitičkim rešenjem I(t) = I(0).exp(−αt) = N.exp(−αt), dobija se sledeća jednačina:

• Na sledećoj slici 2.12 prikazan je rast R(t) (u hiljadama osoba) w.r.t. vreme (u danima) za različite vrednosti stope oporavka α × 10^(−3) (/dan). Očekivano, što je veća stopa oporavka, sve osobe u populaciji brže prelaze u uklonjeno stanje.

2.3.2 Numeričko rešenje sa Ojlerovom metodom

2.3.2.1 Rešenje sa α = 167 × 10−3 / dan

• Prateći iste iteracije kao gore, najveća greška se dobija pri t = 6 u ovom slučaju, kao što je prikazano na slici 2.16.

• Prvi put kada greška postane manja od jedne osobe za t = 67 sa Ojlerovom metodom je sa veličinom koraka 1/256 .

• Rešenje dobijeno Ojlerovom metodom je 133,076171875 dana ≈ 133 dana za uklanjanje infekcije iz populacije sa tolerancijom od 10^(−6). Iz analitičkog rešenja,
I(133) = N.exp(−αt) = 1,016478E−06, dobija se sličan rezultat.

2.3.2.2 Rezultati

Na sledećoj slici 2.16 prikazana su rešenja dobijena sa različitim veličinama koraka korišćenjem Ojlerove metode.

2.4 Generički model (sa α, β > 0)

Prvo će se pokušati numeričko rešenje za generički model (koristeći Ojlerov metod), a zatim će se izvući neki analitički uvidi za generički model.

2.4.1 Numeričko rešenje sa Ojlerovom metodom

• Sledeći algoritam 2.14 prikazan na sledećoj slici biće korišćen za dobijanje rešenja korišćenjem Ojlerove metode (osnovni program za Ojlerovu metodu, prilagođen da uključuje tri zavisne varijable i tri diferencijalne jednačine).

• Kao što se može videti sa slike 2.14, prvo se vektor X(0) formira kombinovanjem tri promenljive S, I, R u vremenskom koraku 0. Zatim se vrednost vektora u sledećem vremenskom koraku može (linearno) aproksimirati (iterativno ) (vektorskim) sumiranjem vektorske vrednosti u trenutnom vremenskom koraku sa proizvodom razlike u vremenskom koraku i izvoda
vektor procenjen u trenutnom vremenskom koraku.

2.4.1.1 Tačke ravnoteže

• U tački ravnoteže,

Neće biti zaražene osobe na tački ravnoteže (infekcija treba da bude uklonjena).

• Kao što se takođe može videti sa sledeće slike 2.15, I = 0 је равнотежа tačka, što je sasvim očekivano, pošto će u ravnoteži sva zaražena populacija preći u uklonjeno stanje.

• Takođe, u svakoj tački invarijanta S + I + R = N drži.

• U ovom konkretnom slučaju prikazanom na slici 2.15, osetljiva populacija S takođe postaje 0 u ravnoteži (pošto se sva populacija inficirala inicijalno, svi moraju da pređu u uklonjeno stanje) i R = N = 4500 (u hiljadama osoba).

2.4.1.2 Rezultati sa Ojlerovom metodom

• Kao što je objašnjeno u prethodnim odeljcima, isti iterativni metod je pronalaženje prave veličine koraka za Ojlerovu metodu. Minimum od dve određene veličine koraka je
∆t = 1/512 dana i opet će se ova veličina koraka koristiti za Ojlerov metod.

• Na sledećim slikama prikazana su rešenja dobijena sa različitim vrednostima α, β sa početnom veličinom zaražene populacije I(0) = 1 (u hiljadama osoba). Za simulaciju su korišćene veće vrednosti parametra β dobijene iz literature, pošto je β = 25 × 10^(−6)/osoba/dan premalo (sa rezultati nisu interesantni) za rast epidemije primenom Ojlerove metode. (najmanje do ∆t = 1/ 2^15), nakon čega je iterativni Ojlerov
metoda postaje veoma spora).

• Kao što se može videti, sa slika 2.16, 2.17 i 2.19, u ravnoteži, I postaje nula.

• Rešenje (broj dana za postizanje ravnoteže) dobijeno pri α = 167×10^(−3) /dan i β = 25×10^(−5) /osoba /dan je teq = 143,35546875 ≈ 144 dana sa I(0) = 1 (u hiljadama osoba), odgovarajuća cifra je slika 2.16.

• Rešenje (broj dana za postizanje ravnoteže) dobijeno pri α = 167 × 10^(−3) /dan i β = 5 × 10^(−5) /osoba /dan je teq ≈ 542 dana sa I(0) = 1 (u hiljadama osoba), odgovarajuća cifra je slika 2.17.

• Dakle, što je veća β vrednost, ravnoteža se dostiže mnogo ranije.

• Rešenje dobijeno pri α = 500 × 10^(−3) /dan i β = 25 × 10^(−5) /osoba /dan je
teq ≈ 78 dana sa I(0) = 1 (u hiljadama osoba), odgovarajuća cifra je slika 2.19.

• Dakle, što je veća vrednost α, ravnoteža se postiže ranije.

• Rešenje dobijeno pri α = 167×10^(−3) /dan i β = 25×10^(−5) /osoba /dan je
teq = 140 dana sa I(0) = 10. Stoga, kao što se i očekivalo, što je veći broj početne veličine zaražene populacije, brže se postiže ravnoteža.

• U ravnoteži, S ne postaje nužno blizu nule, pošto se ponekad čitava populacija možda nikada neće zaraziti, kao što je prikazano na slici 2.17, gde je u ravnoteži osetljiva populacija različita od nule.

• Kao što se može videti iz faznih ravni sa sledeće slike 2.21, u ravnoteži, zaražena populacija postaje 0.

2.4.2 Analitičko rešenje i uvidi

2.4.2.1 Osnovni broj reprodukcije (R0)

Тхе osnovni reprodukcijski broj (koji se naziva i osnovni odnos reprodukcije) definisan je pomoću
R0 = β / α (jedinica je /dan). Kao što je objašnjeno u [2], ovaj odnos je izveden kao očekivani broj novih infekcija (ove nove infekcije se ponekad nazivaju sekundarnim infekcijama) od jedne infekcije u populaciji u kojoj su svi subjekti osetljivi. Kako dinamika sistema zavisi od R0 biće reči u nastavku.

2.4.2.2 Dinamika sistema kao funkcija R0

• Deljenjem prve jednačine sa trećom u 2.1, kao što je urađeno u [2], dobija se sledeća jednačina:

• Sada, pri t → ∞, ravnoteža mora biti već postignuta i sve infekcije moraju biti uklonjene, tako da lim (t→∞) I(t) = 0.

• Zatim iz gornje jednačine 2.7, R∞ = N − S(0).exp(R0.(R∞−R(0)))
.
• Kao što je objašnjeno u [2], gornja jednačina pokazuje da na kraju epidemije, osim ako
S(0) = 0, nisu se svi pojedinci iz populacije oporavili, tako da neki moraju ostati podložni.

• To znači da je kraj epidemije uzrokovan opadanjem broja inficiranih, a ne apsolutnim nedostatkom osetljivih subjekata [2].

• Uloga osnovnog reprodukcionog broja je izuzetno važna, kao što je objašnjeno u [2]. Iz diferencijalne jednačine može se dobiti sledeća jednačina:

S(t) > 1/R0dI(t)/dt > 0 ⇒ biće a pravilno izbijanje epidemije sa povećanjem broja zaraznih (koji može dostići znatan deo populacije).

S(t) < 1 R0 ⇒ dI(t) dt < 0 ⇒ nezavisno od početne veličine osetljive populacije, bolest nikada ne može izazvati odgovarajuću epidemiju.

• Kao što se vidi iz sledećih slika 2.21 i 2.22 (iz rezultata simulacije dobijenih Ojlerovom metodom), kada S(0) > 1/R0 , postoji vrhunac u krivulji infekcije, što ukazuje na odgovarajuću epidemiju.

• Takođe, sa slika 2.21 i 2.22, kada S(0) > 1/R0 , što je veći jaz između S(0) и 1/R0 , što je veći vrh (što se više ljudi zarazi) i brže se dostiže vrhunac.

• Opet, sa slike 2.22, kada je 4490 = S(0) < 1/R0 = 5000, nikada ne izaziva odgovarajuću epidemiju.

biol-2022/8175/image_dx5xCoM76ghoZ2XN.png?w=197&h. 197w" sizes="(max-width: 619px) 100vw, 619px" />

• Ponovo, deljenjem druge jednačine prvom u 2.1, dobija se sledeća jednačina:

• Kao što se može primetiti na gornjoj slici 2.23, pošto se formule razlikuju samo po aditivnoj konstanti, sve ove krive su vertikalne translacije jedne druge.

• Prava I(t) = 0 sastoji se od tačaka ravnoteže.

• Počevši od tačke na jednoj od ovih krivih sa I(t) > 0, kako vreme odmiče, potrebno je putovati duž krive levo (jer dS/dt < 0), na kraju se približavajući nekoj pozitivnoj vrednosti S (t).

• Ovo se mora dogoditi pošto na bilo kojoj od ovih krivih, kao I(t) → ∞, kao S(t) → 0, iz jednačine 2.8.

• Dakle, odgovor na pitanje (2) je da će se epidemija završiti kao da se približava nekoj pozitivnoj vrednosti i stoga uvek mora da ostane nešto osetljivih.

• Kao što se može videti sa sledeće slike 2.24 (iz rezultata simulacije dobijenih Ojlerovom metodom), kada je S(0) > 1/R0, manji je jaz između S(0) i 1/R0, to je veća populacija ostaje podložan u ravnoteži (ili pri t → ∞).

Закључци

U ovom izveštaju simulirano je širenje pandemijske gripe A (H1N1) koja je izbila u Kalkuti, Zapadni Bengal, Indija, 2010. godine korišćenjem osnovnog modela SIR epidemije. U početku će biti mali broj zaraženih osoba u populaciji, većina stanovništva je imala osetljive osobe (još uvek nisu zaražene, ali sklone zarazi) i nula uklonjenih osoba. S obzirom na početne vrednosti varijabli i vrednosti parametara (stope napada i oporavka od gripa), simulacijom/analizom je pokušano da se odgovori na sledeća pitanja:

1. Da li će se broj zaraženih značajno povećati, izazivajući epidemiju, ili će grip nestati.

2. Pod pretpostavkom da postoji epidemija, kako će se završiti? Da li će i dalje biti podložnih kada se završi?

3. Koliko dugo će trajati epidemija?
Sledeći zaključci se dobijaju nakon pokretanja simulacija sa
različite vrednosti parametara i početne vrednosti promenljivih:

1. Kada je stopa oporavka α ≈ 0 ili veoma niska u poređenju sa stopom napada β (tako da je R0 = β / α >> 1) i I(0) > 1, grip će se pokazati kao epidemija i cela populacija će biti prva zaražena (što je veći β, to je brže izbijanje epidemije).

2. Tačnije, kada je početna osetljiva populacija S(0) veća od inverzne vrednosti osnovnog broja reprodukcije 1/R0 = α / β, izbila će prava epidemija.

3. Kada je početna osetljiva populacija S(0) manja od inverzne vrednosti osnovnog broja reprodukcije 1/R0 = α/β, onda prava epidemija nikada neće izbiti.

4. Ako je početna osetljiva populacija različita od nule, na kraju (u ravnoteži) uvek će postojati neka osetljiva populacija.

5. Kada postoji epidemija, ona će se na kraju završiti u tački ravnoteže sa 0 zaraženih populacija, koliko brzo dostiže ravnotežu zavisi od stope oporavka (što je veći α, to je brže uklanjanje infekcije).

6. Vreme do dostizanja ravnoteže može se izračunati korišćenjem Ojlerove metode, zavisi od parametara α (što je veće to brže) i β (što je veće to brže) i početne veličine zaražene naseljenosti I(0) (što je veće to brže ).

7. Obim poboljšanja: SIR model bi se mogao proširiti na klasični endemski model [5] gde se stopa rađanja i smrtnosti takođe uzima u obzir za populaciju (ovo će biti posebno korisno kada je bolesti potrebno mnogo vremena da dostigne ravnotežu држава).

biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=137 137w, biol-2022/8175/image_ihrd507z8UFHhYc.png?w=274 274w" sizes="(max-6tw9px)" /max-6tw9px